Saltar al contenido
Las propiedades

Propiedades de Integrales

Las integrales son un proceso de cálculo matemático en el cual se permite sumar números infinitos, que suelen ser muy pequeños. Existen diversos tipos de integrales, tales como las indefinidas, definidas, dobles, trigonométricas o impropias. También existen integrales diferenciales o de superficie, las cuales permiten hallar curvaturas.

Las operaciones integrales también son la operación contraria a las derivadas, es por esto que ambas operaciones están fuertemente vinculadas, además de esto también se relacionan de manera directa con los límites, dado que con las tres operaciones matemáticas se pueden llegar al cálculo de números muy pequeños.

El uso de las integrales data desde los egipcios, sin embargo no fue sino hasta el siglo XVII cuando Newton y Leibniz definieron el teorema fundamental del cálculo. Además de esto años después las integrales fueron utilizadas para definir el concepto de límites. Cabe destacar el aporte de Arquímedes, el cual logre calcular al área de polígonos y círculos gracias a las integrales.

Las integrales son comunes y útiles en el área del cálculo, matemáticas, aritmética, trigonométrica y geometría, estas permiten el cálculo de áreas, perímetro de superficies curvas y cuerpos cilíndricos o en revolución. Además en la física también es utilizada las integrales para el cálculo de velocidades, cálculo de perdida de energía, caudal de volumen, o cargas eléctricas. En la geometría son utilizadas para la cuadratura de figuras geométricas como rectángulos o trapecios.

Las integrales también son útiles para resolver algoritmos, es por esto que pueden ser utilizadas para desarrollar programas y aplicaciones de celulares o computadoras.

Teorema Fundamental del Cálculo

El teorema fundamental del cálculo, establece que tanto la derivada como las integrales son operaciones proporcionalmente opuestas, (como lo son la suma y la resta, división y multiplicación) esto quiere decir que si en una ecuación integras y luego derivas obtendrás la ecuación inicial. Por lo cual se establece:

  • La función f siempre será un intervalo cerrado, de caso contrario la función al ser integrada tendera al infinito.
  • F debe ser una función real.
  • La función debe ser determinada y continua.
  • La función debe reducirse a su expresión m as primitiva.

Propiedades de Integrales Indefinidas

Las integrales indefinidas son aquellas no son directamente opuestas a una derivada es por esto que deben realizarse ciertos procedimientos adicionales para poder simplificarla a un integral definida.

Si una integral posee un constante su función será igual al producto por la constante

Si una integral está compuesta de dos sumas, el resultado será la suma de las dos integrales realizada de manera individual.

Si una integral está compuesta por una diferencia, su resultado será la igual a la diferencia de las funciones resulta de manera individual respetando el minuendo y sustraendo.

Propiedades de Integrales Definidas

Cuando una integral está completamente definida, cumple con ciertas características que permite que el proceso de resolución sea mucho más sencillo y mecánico. Además estas pueden ser aplicadas en cualquier tipo de ecuación.

Propiedades de Integrales Dobles

Las integrales dobles son aquellas funciones en las que se encuentra una integral dentro de otra, estas deben resolverse de adentro hacia afuera.

  1. Deben resolverse de forma lineal, manteniendo propiedades asociativas como el factor común.
  2. Se mantiene la igualdad
  3. Se deben realizar cambio de limitadas al momento de integrar.

Propiedades de Integrales Trigonométricas

Las integrales trigonométricas son aquellas integrales que poseen funciones trigonométricas tales como sen, cos, o tan. Dado a su complejidad están suelen ser transformadas a números irracionales. Además de esto al momento de resolverlas se suele tomar el factor contrario a sus funciones, es decir el arcsen, arcos y arctan.

 

Propiedades de Integrales Impropias

Las integrales impropias son aquellas que no se encuentran acotadas en otras funciones, por lo cual quiere decir que el grafico de la función es abierto. Estas integrales al ser abiertas, suelen tender a acercarse al infinito, por lo cual sus intervalos suelen ser amplios. Estas son utilizadas para calcular superficies de doble curvatura.

  1. Las propiedades integrales deben tener intervalos abiertos y no acotados
  2. Las funciones que conforman la integral deben es impropias