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Las propiedades

Propiedades de los logaritmos

Propiedades de los logaritmos

¿A quién no le aterran los logaritmos? Todas las matemáticas son difíciles y no muy entendidas por todos, es más aquellos que las disfrutan y entienden de maravilla son sin duda unos genios. Pero dentro de las matemáticas hay cosas sencillas y otras no tanto, los logaritmos se clasifican dentro de los aspectos no tan sencillos de las matemáticas. Sigue leyendo y entérate de las propiedades de los logaritmos.

 

Recuento rápido de los logaritmos

Para entrar más detalladamente dentro del mundo de los logaritmos basta con tener un pequeño repaso de las temidas matemáticas. Debemos saber que esta tiene muchas ramas que la simplifican, como la aritmética, algebra, análisis, geometría y estadística y probabilidades.

Ahora bien, definiendo un poco la rama de la aritmética, nos encontramos con que esta es la más antigua de todas las ramas y en las que se desarrollaron las 4 operaciones matemáticas más famosas:

  • Suma
  • Resta
  • División
  • Multiplicación

Esta rama desarrolla, con ayuda de los símbolos y números, habilidades y propiedades para usar en la vida diaria. Profundizando más, tenemos que esta sirve de base para los sistemas de potencia y potencia no es otra si no una expresión matemática (a^n) donde «a» es la base y «n» el exponente, es de gran ayuda para expresar cantidades enormes de manera más simplificada.

Acercándonos a donde queremos llegar, tenemos a los logaritmos, que se definen como el exponente de cierta potencia con cierta base, pongamos otra definición para tenerlo más claro, es el exponente al que elevar la base para tener un resultado. Para tener esta definición más precisa y poniendo el ejemplo anterior para su mejor interpretación, tenemos (a^n=b), donde el logaritmo es el número (n) al que se debe elevar la base (a), para obtener un resultado determinado (b).

Ahora sí, teniendo bien claros estos conceptos podemos hablar mejor sobre las propiedades de los logaritmos.

 

Tipos de logaritmos

Principalmente se tienen dos tipos de logaritmos:

  • Los logaritmos decimales o comunes
  • Los logaritmos neperianos o naturales.

Los logaritmos decimales, como lo explica su nombre, tiene base diez (10) y en dado caso no se escribe dicha base, se expresa (logX=y) pongamos un ejemplo para verlo mejor.

                              log 100 = log10 100 = 2  ya que  10^2 = 100

 

Propiedades de los logaritmos decimales o comunes

  • log 1 = 0
  • log 10 = 1
  • log 10^n = n
  • log (x*y) = log (x) + log (y)
  • (log x / y) = log (x) – log (y)
  • log x^n = n log (x)

Ahora, los logaritmos naturales o neperianos, tiene base (e) el cual es un numero irracional, no puede representarse por un numeral decimal exacto o numero enteros. El valor de (e), cortado a sus primeras cifras decimales, es el siguiente: 2,718281828459… Para no alejarnos del tema, este logaritmo se expresa con estos símbolos: In (x) Ln (x) L(x) poniendo un ejemplo, tenemos:

z = log e x = In x   ya que  x = e^z

 

Propiedades de los logaritmos naturales o neperianos 

  • In 1 = 0
  • In e = 1
  • In e^n = n
  • In (x/y) = In (x) – In (y)
  • In x^n = n In (x)

Perfecto, ya que se comprende mejor la definición de lo que es logaritmo, sus tipos y algunas propiedades de ellos, profundicemos más en las propiedades de los logaritmos en general:

 

Propiedades de los logaritmos

  • No existe el logaritmo de un número con base negativa.
  • No existe el logaritmo de un muero negativo.
  • No existe el logaritmo de cero (0).
  • El logaritmo de uno (1) es cero.
  • El logaritmo en base (a) de (a) es uno (1).
  • El logaritmo en base (a) de una potencia en base (a) es igual al exponente.
  • El logaritmo de un producto será igual a la suma de los logaritmos de esos factores.
  • El logaritmo de un cociente será igual al del numerador menos el denominador.
  • El logaritmo de una raíz será igual al del radicando dividido por el dividendo.
  • Cambio de base: este logaritmo (base a) de un numero se obtiene a partir de logaritmos en otra base.

 

Identidades logarítmicas

Estas identidades se usan para simplificar las operaciones que pueden tener complicaciones cuando se resuelven paso a paso las ecuaciones logarítmicas, a continuación se presentan algunas:

 

Suma de logaritmos

Identidad: suma de logaritmos:

loga (x) + loga (y) = loga (xy)

 

Logaritmos de un producto

Multiplicación de numerales de logaritmos que pueden separarse en una suma de logaritmos:

logb (xy) = logb (x) + logb (y)

 

Resta de logaritmos

Identidad: resta de logaritmos:

loga (x) – loga (y) = loga (x / y)

 

Logaritmo de un cociente

La resta de dos números será igual al logaritmo del numerador menos el del denominador.

logb (x / y) = logb (x) – logb (y)

 

Logaritmo de una potencia

Este logaritmo será igual al exponente que se multiplicara por el logaritmo de la potencia.

logb (x^y) = y logb (x)

 

Logaritmo de una raíz

Sera igual al producto entre el logaritmo del radicando y la inversa del índice.

 

Cancelación de exponentes 

Hay casos en donde los exponentes se cancelan donde los logaritmos y exponentes tienen la misma base. Existen dos casos:

  • b^logb (x) = x
  • logb (b^x) = x