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Las propiedades

Propiedades de los Número Naturales

Los números son algo que utilizamos todo los días a pesar qué no nos demos cuenta, los números naturales están designados con la letra N donde se les agrupa de manera ordenada y son infinitos. Pueden sumarse y multiplicarse números naturales con resultados dé otro número natural, pero cuando se resta o divide, no siempre es otro número natural.

Algunas propiedades son:

  • El conjunto de los números naturales tiene un elemento inicial. En este caso el cero (0) ya qué no hay otro número natural a su izquierda.
  • Todo número natural posee un único sucesor. El sucesor de un número natural es el número que le sigue a ese número inmediatamente después y que se sitúa a su derecha.
  • Dos números naturales distintos no pueden tener el mismo sucesor. Partiendo de lo que se mencionó en el anterior punto.
  • El conjunto de números naturales es infinito. Siempre en la recta numérica habrá un número natural más grande qué el anterior.
  • El conjunto de los números naturales es ordenado. Es decir, cada uno tiene su posición en la recta númerica.

¿Qué son los Números Naturales?

Los número naturales son un conjunto de números puestos dé tal manera que siempre están ordenados y son infinitos, son los números que utilizamos para contar elementos o ciertos conjuntos, está es su finalidad. El conjunto de números naturales puede verse alterado si incluimos o no el cero (0), ya qué algunos dicen que el cero, no es un número natural.

 

Entonces, si incluimos en cero dentro del conjunto de los números naturales, que es lo más idóneo ya que es parte de la divisibilidad y en la teoría de los números, entonces el conjunto de los números naturales se llama conjunto de los números cardinales. Por el contrario, si no incluimos el número cero en el conjunto de números naturales, este se llamará conjunto de enteros positivos.

Historia de los Números Naturales

Se cuenta que los primeros números existentes, fueron los números naturales, ya el hombre los utilizaba para contar elementos de un conjunto finito, pero antes de que aparecieran los números hoy conocidos. se usaban otros métodos, como contar con los dedos, piedras, palos de madera, nudos en cuerdas, luego aparecieron los símbolos cómo las marcas en varas o trazos en el suelo.

Se dice que en el antiguo Egipcio, se usaba la agrupación dónde un símbolo representaba tal agrupación. Pero surgían cada vez números más grandes y cada vez se caía en la necesidad de crear otros sistemas numéricos que utilizan menos símbolos. Personas cómo Zermelo, Adolf Fraenkel, Peano y Frege, dieron vida a lo qué hoy se llama un sistema numérico de números naturales, originándose en el siglo XIX y sufriendo modificaciones.

¿Cómo se Representan los Números Naturales?

Se sabe qué los números naturales vienen un un conjunto, estos están formados por todos los números naturales (partiendo del cero), este conjunto es ilimitado porque siempre habrá otro número a la derecha del anterior y se representan en un recta numérica, con la letra N.

Se dibuja una recta, dividida en partes iguales y se disponen a colocar los números de izquierda a derecha, empezando desde el cero y así sucesivamente, hasta el infinito.

Propiedades de Números Naturales Conmutativa

Los números naturales (conjunto N) pueden emplearse para sumar y multiplicar, ya que para restar se usa el conjunto de los números enteros (Z) y para dividir el conjunto de los números racionales (Q).

Partiendo de esto, encontramos la propiedad conmutativa en la suma y multiplicación de números naturales, entonces:

 

  • En la suma:

Si dos números naturales son sumados, puede cambiarse el orden sin afectar el resultado: 5 + 3 = 3 + 5

 

  • En la multiplicación:

Cuando dos números naturales se multiplican, pueden cambiar de orden sin afectar el resultado:  5 * 3 = 3 * 5.

 

Propiedades de Números Naturales Asociativa

La propiedad asociativa se vincula también a la suma y multiplicación de los números naturales:

 

  • En la suma:

Los números naturales se agrupan y pueden cambiar dicho agrupamiento sin modificar su resultado: (4 + 5) + 6 = 4 + (5 + 6).

 

  • En la multiplicación:

Los números naturales, al agruparse para multiplicar, pueden adoptar otra grupo son alterar el resultado: (4 * 5) * 6 = 4 * (5 * 6).

Propiedades de Números Naturales Distributiva

Está propiedad distributiva aplica solo para la multiplicación de números naturales, aunque esta propiedad también tenga operaciones de suma (o resta). Se aplica cuando multiplicas un número por una suma.

 

Ejemplo: 3 * (10 + 2) = 3 * 10 + 3 * 2

Propiedades de Números Naturales en la Suma

La adición de números naturales cumple con las tres propiedades que son: conmutativa, asociativa y el elemento neutro. Veamos las propiedades de la suma con respecto a estas propiedades:

 

  1. Conmutativa: si (a) y (b) son números naturales cualesquiera, se cumple lo siguiente: (a)+(b)=(b)+(a), es decir, 8+3=3+8.
  2. Asociativa: si (a), (b) y (c) son números naturales cualesquiera, se cumple lo siguiente: (a+b) + c = a + (b+c), es decir,  (6+3) + 2 = 6 + (3+2).
  3. Elemento neutro: el número cero (0) es el elemento neutro de la suma de los enteros, partiendo de qué, cualquiera qué sea el número natural (a), se cumple lo siguiente: a + 0 = a, es decir, 4 + 0 = 4.

 

Propiedades de Números Naturales en la Resta

La resta al igual que la suma, se deriva de la operación de contar, entonces es posible que la resta posea propiedades con respecto a los números naturales ya que parte del hecho de que es igual que la suma. Pero no funciona así, la resta no tiene propiedad conmutativa ni asociativa con respecto a las propiedades de los números naturales.

La resta no es una operación interna en el conjunto de los números naturales, ya qué para que se de esta operación , el minuendo tendría qué ser mayor siempre qué el sustraendo. No tiene propiedad conmutativa porque no podriamos intercambiar los números sin qué no se altere el resultado. Esto se aplica en el conjunto Z de los números enteros.

 

Propiedades de Números Naturales en la División

La operación de la división de los números naturales puede ser exacta (si el resto es igual a cero e inexacta o entera (si el resto no es cero y es menor qué el divisor), al igual que la resta, la división no tiene propiedad conmutativa y por consiguiente no es una operación interna de los números naturales. El conjunto Q de los números racionales de crea para dividir un número por otro, salvo el cero.

Propiedades de Números Naturales en la Multiplicación

La multiplicación de los números naturales está presente en las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y en la distributiva del producto con respecto de la suma, Veamos entonces sus propiedades en la multiplicación:

  1. Conmutativa: si (a) y (b) son números naturales cualesquiera, se cumple los siguiente: (a) * (b) = (b) * (a), es decir, 6 * 2 = 2 * 6.
  2. Asociativa: si (a), (b) y (c) son números naturales cualesquiera, se cumple lo siguiente: (a*b) * c = a * (b*c), es decir, (4*5) * 2 = 4 * (5*2).
  3. Elemento neutro: el número uno (1) es el elemento neutro de las multiplicaciones, porque cualquiera que sea el número natural se cumple lo siguiente: (a) * 1 = (a), es decir, 5 * 1 = 5.
  4. Distributiva del producto respecto de la suma: si (a), (b) y (c) son números naturales cualesquiera, se cumple lo siguiente: a * (b + c) = a * b + a * c, es decir, 5 * (3 + 8) = 5 * 3 + 5 * 8.

Propiedades de los Números Naturales en Álgebra

Se sabe que el álgebra emplea tres clases de signos, los de operaciones, relación y agrupación, dejando de lado los de relación (mayor que, menor que, igual a) y los de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, barras), tenemos los signos de operación, qué son suma (+), resta (-) multiplicación ( * ) y división ( / ), aparte de potencia y raíz.

Entonces, sabiendo también que los números naturales sólo se aplican para las sumas y las multiplicaciones, podemos entonces mencionar las propiedades descritas anteriormente, ya que cumple con los tres signos característicos del álgebra.